Sociología Divertida: El Teorema de Gödel y el Sentido de la Vida

Aquella noche de agosto del año de Nuestro Señor de -34567 hacía un calor tremendo en la meseta central de lo que muchos años después se llamaría España. El neandertal no conseguía pegar ojo por la canícula – a pesar de estar en plena glaciación ese agosto era de botijo y siesta - y salió de la cueva con cuidado de no despertar a su familia, con el fin de tomar un poco el fresco de la noche. Una vez fuera se sentó en una piedra y miró, como otras veces, hacia el cielo. Allá arriba estaban las estrellas y la bóveda celeste en todo su esplendor. Alguna estrella fugaz pasaba rápida rasgando la noche pero no pedía ningún deseo pues tal costumbre todavía no se había implantado en el género homo.

Siempre se preguntaba qué eran las estrellas, el anciano decía que eran luciérnagas gigantes que volaban muy alto. El hechicero decía que eran las almas de los que ya no estaban con ellos. El jefe del clan vecino, con el que comerciaban a menudo, intercambiando pulseras de colmillos de animales por collares de conchas, le había dicho una vez que eran hogueras lejanas.

Tal vez porque el calor activaba sus neuronas aquella noche, al neandertal le dio por pensar que quizás fueran las estrellas bolas gigantescas de gas incandescente situadas a una distancia enorme, pero enseguida desechó la idea por absurda y la atribuyó a la excesiva ingesta de carne de mamut durante la cena. Y todo el mundo sabe lo indigesta que es la carne de mamut y como afecta al sueño y a los malos pensamientos cuando se ingiere inmediatamente antes de irte al lecho, que no cama, que todavía no se había inventado.

Lo más seguro es que a aquellas estrellas las colocara alguna deidad con el fin de iluminarles la noche, de la misma forma que alguien superior debía haber creado al hombre, a la mujer, a los animales, a los ríos, a las montañas y a aquellos nuevos hombrecillos, esos despreciables sapiens, que acababan de aparecer por allí y que les estaban quitando la comida los muy cabrones. Se volvió a la cueva, se repanchingó en el suelo y se durmió enseguida.

No sé si fue un neandertal o un homo erectus o ya directamente un sapiens, alguno tuvo que ser el primero, el que se hiciera este tipo de preguntas por primera vez. Algo así como el primer filósofo, el Adán o la Eva intelectual. El primer intento de encontrar sentido al mundo que le rodeaba. ¿De dónde venimos?, ¿hacia dónde vamos?, ¿quién creó el mundo?, ¿existen los dioses?, ¿existe Dios?, ¿hay vida después de la vida?. Todas estas preguntas y muchas más, tan difíciles de contestar, pretenden dar sentido a nuestra vida y nos surgen ante la desgracia, que nos recuerda lo frágiles que somos, o ante un fenómeno natural que es más grande que nosotros mismos como puede ser, simplemente, una noche estrellada.

El problema es que estás preguntas no tienen respuesta, o mejor dicho, tienen respuesta pero nadie puede comprobar su veracidad. Nadie sabe si las respuestas son verdaderas o falsas. Pero, ¿por qué no tienen respuesta?, ¿Por qué no hay nadie – muy muy sabio – que sea capaz de responderlas verazmente?.

Bueno pues, puede que haya varias formas de responder a estas últimas preguntas pero yo me voy a apoyar en las matemáticas para intentar contestarlas. En concreto, voy a apoyarme en el teorema de Gödel. Así que, querido lector, acomódate en tu asiento y ponte el cinturón de seguridad, pues voy a hacer una locura – como dice mi hijo pequeño, “me gusta vivir al límite” – voy a intentar explicarte el teorema de Gödel sin estar muy seguro de que lo entienda yo mismo, es una alarde de inconsciencia pero, ¡es que la ignorancia es tan osada!. De todas formas la parte matemática del asunto va a ser lo más pequeña posible, así que sólo os pido unos párrafos de paciencia.

Para entender lo que dice el teorema de Gödel o Goedel, que de las dos formas se puede escribir, lo primero que tenemos que hacer es definir lo que es un sistema formal. Los sistemas formales están compuestos de axiomas o postulados, teoremas o fórmulas válidas y reglas de inferencia.

Los primeros, los axiomas o postulados, son verdades absolutas dentro del sistema, nadie puede discutirlos. Los teoremas o fórmulas son frases o sentencias o afirmaciones que demuestro que son ciertas, no son válidos por sí mismos como los axiomas sino hay que demostrarlos. ¿Cómo?, haciéndolos derivar de los axiomas y teoremas previamente demostrados mediante las reglas de inferencia, que son las reglas que puedo aplicar para deducir unas proposiciones de otras, por ejemplo, la regla del silogismo[i] de la que todos hemos oído hablar.

Un ejemplo de axioma es el postulado de Euclides que dice que por un punto exterior a una recta sólo puede pasar una paralela. Esto es verdad absoluta en el sistema formal de la Geometría Euclídea, lo cual nos parece muy sensato si tenemos en cuenta nuestra experiencia diaria[ii], sin embargo – y es aquí dónde empieza la relatividad del asunto – en las geometrías paralelas no lo es en absoluto. Esto nos lleva a la idea de que lo que es verdad en un sistema formal no tiene por qué serlo en otro.

Dentro de la Geometría Euclídea, un teorema conocido es el de Pitágoras. Aquí la cosa no es tan obvia como con el postulado del amigo Euclides, el que el cuadrado de la hipotenusa sea igual a la suma de los cuadrados de los catetos no es tan evidente. Puede parecerlo pues nos lo han machacado tanto desde pequeñitos que nadie puede dudar de él. Pero existe una demostración y en cada paso de la demostración se aplica una regla de inferencia que está admitida en el sistema formal geométrico. Una vez se ha demostrado el teorema de Pitágoras, se puede utilizar tantas veces como se quiera con la tranquilidad de que el resultado tiene que ser forzosamente cierto. De hecho, yo siempre que he tenido dos catetos ha sido el camino que he seguido para obtener la hipotenusa con muy buenos resultados.

Pero sigamos complicando la cosa, un sistema formal sería completo si para cualquier teorema pudiera encontrarse una demostración que nos lo permitiera calificar como verdadero o como falaz, es decir, si puedo demostrar todos los teoremas.

Ahora bien, los sistemas formales – como el paraíso de Adán y Eva – tienen su árbol del bien y del mal. Hay algo terminantemente prohibido. Lo que está prohibido en un sistema formal es contradecirse. Un sistema para que sea formal debe ser coherente, es decir, en la Geometría puede demostrarse el Teorema de Pitágoras pero no puede demostrarse su antiteorema. Por tanto, apuntemos esto, un sistema formal puede ser incompleto pero no puede ser incoherente. Con estos conceptos claros estamos capacitados para seguir con lo nuestro.

A estas alturas del artículo he de reconoceros que he mentido. No hay un teorema de Gödel sino dos, o quizás, hay un primer teorema de Gödel y un corolario.

Existen múltiples “traducciones” de los dos teoremas del lenguaje matemático al cristiano, voy a hacer un intento de hacerlo lo más comprensible posible, espero que los matemáticos no se me echen encima. Los teoremas dicen más o menos así:

Teorema 1º: En cualquier sistema formal consistente que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Teorema 2º: Ningún sistema coherente se puede usar para demostrar que es coherente, sino que hay que acudir a un sistema formal más grande que lo incluya para poder asegurar su coherencia.

El primer teorema nos indica que todo sistema formal, en el que se pueden definir los números naturales, es incompleto. Es decir existen teoremas, fórmulas válidas que no pueden demostrarse. No puede asegurarse si tales proposiciones son verdaderas o falsas. Y el bueno de Gödel lo demostró, ¿eh?, que no fue una afirmación peregrina dicha en la barra de un bar ante amigotes, es más, dudo mucho que Kurt – con los problemas de relaciones sociales que tenía – fuera a un bar a tomar unas cañas[iii]. Y, cabe decir, que esto supuso una auténtica revolución en el mundo de las matemáticas, al parecer se cargó un movimiento matemático muy de moda en aquel entonces que se denominaba formalismo y ha provocado todo un aluvión de artículos, libros, y conclusiones fantásticas sobre los temas más variados.

El segundo teorema viene a decir, más o menos, que si existen afirmaciones que no podemos calificar como verdaderas o falsas, entonces no podemos demostrar que no existan contradicciones, que es tanto como afirmar que no podemos demostrar que el sistema formal es coherente y, para hacerlo, hay que salirse de dicho sistema e irse a uno más grande que lo englobe. De tal forma que los sistemas son formales mientras no se demuestre que existe una contradicción.

Bien y todo esto, ¿qué tiene que ver con el sentido de la vida?, ¿con aquellas preguntas que se viene haciendo el ser humano desde que tomó conciencia de su propia existencia?. Pues que yo creo que estas preguntas trascendentes son precisamente del tipo que Gödel nos dice que no podemos ni afirmarlas y ni negarlas. Pero vayamos punto por punto.

En primer lugar, tendríamos que preguntarnos – para saber si es de aplicación el Teorema del Gödel - si el Universo en que vivimos es un sistema formal[iv]. Hombre yo pienso que sí. Las leyes de la física se cumplen en todos los rincones del Universo, al menos hasta donde hemos podido llegar con nuestros radiotelescopios. Hasta ahora no hemos encontrado ninguna contradicción. Estas leyes serían nuestros axiomas, además a partir de ellos hemos desarrollado teoremas, hemos hecho afirmaciones que hemos podido demostrar[v]. Además en nuestro Universo se pueden definir los números naturales – que es otra de las condiciones del teorema de Gödel -, así como los enteros, los reales y todo tipo de números; si no, ¿como podría el simpático de Rajoy habernos bajado el sueldo y subido el IVA?.

Así que, aplicando nuestro teorema, necesariamente hay afirmaciones que no tienen demostración. Sin ir más lejos: “Dios existe”[vi]. A ver quien es el guapo que lo demuestra[vii], habría – según el 2º teorema – que irse a un sistema que englobara al Universo, un superuniverso, para demostrarlo.

Entonces si Gödel no nos deja alternativa, ¿qué solución hay para dar sentido a nuestra vida?. Bueno, es muy fácil, a mí a bote pronto se me ocurren dos.

La primera probablemente la halló el primer hombre – erectus, neandertal o sapiens – que se llamó a sí mismo sacerdote: la fe. La segunda, probablemente, la halló el primer hombre – erectus, neandertal o sapiens – que se llamó a sí mismo filósofo: el escepticismo.

La fe es tomar la vía de lo sobrenatural, en cierto modo es salirse de nuestro sistema formal, el universo, aplicando a tu manera el segundo teorema, hacia una especie de superuniverso que engloba al nuestro, en el que hay un Dios creador, a veces magnánimo a veces colérico, que todo lo ordena o desordena según su divina voluntad y cuyos caminos son imposibles de entender. Para comunicar el mundo y el ultramundo – del que no se tienen pruebas tangibles - se necesitan toda una serie de ritos iniciáticos y apariciones de Dios o de divinas criaturas tales como ángeles, arcángeles y demás coros celestiales o, yéndonos al paganismo, las mitologías politeístas cuyos dioses eran muy aficionados – centrándonos en Zeus y compañía - a dejar el monte Olimpo y refocilarse con los seres humanos.

La fe tiene la ventaja de que ofrece mucho consuelo, da mucho sentido a la vida y ofrece tranquilidad pasándole a la divinidad muchas de las responsabilidades que nos aquejan y muchas de las cosas que nos ocurren y cuya causa no entendemos. Por eso este producto ha tenido tanto éxito a lo largo de la historia. Lo malo es que a algunos creyentes les gusta tanto este invento que no consienten que nadie se lo estropee o amenace con estropearlo con su incredulidad y no dudan en imponer su creencia a los demás. También ha sido una constante en la historia la intolerancia religiosa.

El escepticismo es quedarse en el universo tangible, ser materialista, quedarte en lo que puedes tocar, medir o analizar. Tratar de explicar el mundo apoyándote en la razón y dejar para mejor ocasión – para cuando la raza humana sea más sabia – aquello que no puedes explicar. Ser escéptico es quedarte en el primer teorema de Gödel.

El escepticismo, la razón en estado puro, es más difícil que proporcione consuelo pero filósofos ha habido que nos han enseñado que es inútil preocuparte por alcanzar lo trascendente si al fin y al cabo te tienes que morir para alcanzarlo y no es muy común volver del otro barrio – los registros históricos sobre resurrecciones son más bien escasos - para explicarte la película del más allá. Es algo así como: ¿para qué te vas a preocupar por la vida si no vas a salir vivo de ella?.

En general las personas navegamos entre las dos posturas. No hay nadie que sea totalmente creyente, aunque algunos lo parezcan deben tener sus dudas en lo más íntimo, ni hay nadie completamente escéptico, es más, el escéptico lo suele ser hasta con el propio escepticismo. Es la servidumbre de un universo gobernado por el teorema de Gödel, seguimos sin poder demostrar lo esencial de nuestras vidas.

Así que nuestro amigo el neandertal del año -34567 no estaba tan lejos de nosotros en este tipo de cuestiones y seguimos mirando, al menos yo lo hago todos los veranos, la inmensidad de una noche estrellada. Ahora bien, al menos nosotros si sabemos que las estrellas son bolas enormes de gas incandescente situadas a mucha distancia. Algo es algo.

Juan Carlos Barajas Martínez

Sociólogo

In memoriam

José Cuena Bartolomé 1937-1999

Doctor en Ingeniería de Caminos e Informática. Profesor de Lógica e Inteligencia Artificial. El mejor profesor que he tenido en mi dilatada carrera como estudiante. Él me enseñó qué era un silogismo, un modus ponens y un modus tollens. Sus toques de atención en clase, su estilo, sus referencias históricas, sus chascarrillos... Todos sus alumnos – sin excepción conocida - nos acordamos de él con cariño y simpatía.

[i] El silogismo es una forma de razonamiento deductivo que consta de dos proposiciones como premisas y otra como conclusión, siendo la última consecuencia necesaria de las otras dos. Al parecer el inventor del silogismo o, más bien, el primero que habló de él fue Aristóteles en su obra lógica llamada “EL Organon”. Un ejemplo de silogismo es:

Todos los hombres son mortales

Leo Messi es un hombre

Luego Leo Messi es mortal

[ii] Referente al asunto del Postulado de Euclides, cuando cursaba del primer curso de informática en la Universidad Politécnica de Madrid, los estudiantes teníamos una broma: el Teorema del Punto Gordo. Cuando teníamos que hacer un dibujo y dos o más formas geométricas tenían que coincidir en un punto, y no salía ni con polvorones, siempre se podía recurrir a un punto lo suficientemente gordo como para llenar el espacio entre ambas formas. El problema era que si el profesor argumentaba que el punto era demasiado gordo te podía suspender. En el caso del Postulado de Euclides se decía que por un punto exterior a una recta, si éste es suficientemente gordo, se podía trazar más de una paralela.

[iii] Todos los genios tienen un problema. Suelen ser gentes que algún aspecto de su vida son un auténtico desastre. Supongo que como compensación al aspecto de su personalidad que les hace ser genios. Gödel no era precisamente un relaciones públicas, ver mi artículo El Sentido Común en el que se cuenta una anécdota muy curiosa. Al final de su vida perdió la salud mental y murió de una forma muy lamentable. (Para ampliar información: http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del)

[iv] Seguro que hay algún matemático aguafiestas por ahí que diga que el teorema no es aplicable al tema que propongo. Una de las ventajas de no ser matemático es que, en todo caso, este hecho me la refanfinfla, alguna ventaja debe tener la ignorancia, lo único que pretendo es escribir una parábola de la vida

[v] Los libros de ciencias están llenos de teoremas válidos en nuestro Universo, ¿no?. Pero voy más lejos, para mí – ya sé que soy muy burro -, construir un automóvil o un cohete lunar, es una forma de hacer teoremas que aprovechan la leyes de la física como axiomas y las reglas de deducción para su construcción.

[vi] Gödel tradujo a la lógica modal el argumento ontológico (demostración de la existencia de Dios) de San Anselmo: Para mí, el problema que tienen estas demostraciones de la existencia de Dios es que las premisas parecen escogidas para llegar al resultado deseado. Me fío más de la fe que de estas demostraciones. De todas formas el que la quiera ver está en: http://www.slideshare.net/rafael.mora/los-argumentos-ontolgicos-de-san-anselmo-y-kurt ).

Bibliografía:

Controversia sobre Mentes y Máquinas

Diversos autores (Alan Turing, J. R. Lucas y otros)

Serie Metatemas

Tusquets Editores

Barcelona 1984. Primera edición

La manifiesta superioridad del pensamiento informal sobre el pensamiento formal

Juan Carlos Barajas Martínez

Premio de las 11 preguntas

Mi amiga CeNedra que escribe el blog "opositando espero", y que es la que siempre me anda dando premios de esos que se conceden entre blogueros y que no tienen ninguna remuneración, me ha honrado con un premio - supongo que por llamarlo de algún modo - en el que tienes que contestar a 11 preguntas propuestas por tu mentor.

Comoquiera que CeNedra es una tía magnífica y puede llegar a ser un día mi jefa, que nunca se sabe lo que puede deparar el destino, le contesto lo más sinceramente que puedo a dichas preguntas:

1.- ¿Cuál es tu serie favorita?.

The Wire
2.- ¿Cuál es tu recuerdo más emocionante?.

Uno ya va para viejo, estoy a un tiro de piedra de la vejez, por lo tanto tengo muchos recuerdos emocionantes, buenos y – desgraciadamente – malos. Me quedaré con los buenos y diré tres en vez de uno: cuando me casé y cuando mi mujer dio a luz a mis dos hijos
3.- ¿Qué locura quieres hacer antes de morir y aún no has hecho?.

No sé si es locura, pero es prácticamente irrealizable: asistir al concierto de año nuevo de la Filarmónica de Viena
4.- ¿Qué ha sido lo más romántico que han hecho por ti?.

Amarme, ¿te parece poco?.
5.- ¿Cuál es tu pintor favorito y por qué?.

Pintores favoritos tengo muchos pero prefiero señalar un grabador, que es lo mismo pero no es igual, MC Escher. ¿Por qué?, porque ve la realidad como yo, con la perspectiva cambiada
6.- Si pudieras elegir teletransportarte ahora mismo a un lugar del mundo durante 1 día, ¿cuál escogerías?.

Nueva York, el único lugar del mundo al que quería ir cuando era pequeño y todavía no he ido. Sólo me falta esa muesca, en el fondo soy un privilegiado pues la lista no era pequeña.
7.- ¿Qué te motivó a empezar este blog?.

La necesidad de comunicar al que quiera ser comunicado lo bonita, curiosa y divertida que puede ser la sociología e intentar darle sentido al diploma que tengo en la pared del estudio de mi casa
8.- Si te tocara el euromillón, ¿a qué te dedicarías?.

A vivir de las rentas y a dedicarme a la contemplación del Universo desde las Seychelles o lugar paradisiaco equivalente
9.- ¿Cómo conociste a tu mejor amigo/a?.

En la Facultad de informática de Madrid, hace 35 años. Yo le dije: ¿dónde está la secretaría? Y él me dijo: “Ahí”. Fue el comienzo de una gran amistad. No puedo dejar de mencionar a otro amigo, que conocí hace 35 años en la Facultad de Informática, estaba en la clase de enfrente. Los tres somos amigos desde hace 35 años.
10.- ¿Cuál es el libro que menos te ha gustado?.

No lo sé. No tengo un disgustómetro de libros. Hay muchos. Normalmente no los termino, pues hay mucho que leer y una vida muy corta para hacerlo. Sí sé el libro que más me ha decepcionado, además lo leí hasta la última línea esperando que mejorara: “El péndulo de Foucault”, Umberto Eco no podía fallarme, sin embargo...
11.- ¿Qué película recomendarías a tus peores enemigos?.

Aquellas en los que se conculcan los principios de la física sin ninguna justificación. Pero puestos a decir: “Congo”, “2012”, “Núcleo”, “Waterworld”

Bueno no sé si tengo que poner preguntas a otros blogueros pediré aclaración a CeNedra, en todo caso será otro día, por hoy creo que ya está bien.